V předchozí podsekci jsme si vysvětlili, co je to cirkulace v grafu $G=(V,E)$ s požadavky $\left\{ d(v) \right\}_{v\in V}$. Každá hrana sítě $e\in E$ má svojí kapacitu $c(e)$, která je horním limitem na velikost toku po hraně. Tentokrát chceme velikost toku po hraně omezit i ze spoda. Hodnota $\ell(e)$ určuje minimální tok po hraně $e$.

Chceme nalézt tok $f$, který splňuje požadavky $d(v)$ ve vrcholech a navíc $\ell(e)\leq f(e) \leq c(e)$ pro každou hranu $e\in E$. Jak takový tok najít?

Zkusme následující, na první pohled naivní přístup. Na začátku po každé hraně $e$ pošleme přesně $f_0(e):=\ell(e)$. Funkce $f_0$ splňuje omezení na průtok po hranách. Jediné, co brání funkci $f_0$ v tom, aby byla cirkulací s požadavky, jsou přebytky toku ve vrcholech. Přebytek toku ve vrcholu $v$ je $f_0(v)$ a my potřebujeme, aby byl $d(v)$. Pokud $f_0(v)=d(v)$, tak je požadavek pro vrchol $v$ splněn. V opačném případě musíme “tok” $f_0$ upravit.

Provedeme to následovně. Nechť $G’$ je graf $G$, ve kterém zvolíme nové požadavky $d'(v):=d(v)-f_0(v)$ pro každý vrchol $v\in V$ a nastavíme kapacity hran na $c'(e):=c(e)-l(e)$. Jinými slovy, od kapacit hran a požadavků ve vrcholech odečteme nutný minimální tok po hranách a dostaneme síť $G’$.

Všimněme si, že v $G’$ “zmizely” požadavky na minimální tok po hranách (požadavek $f(e)\ge l(e)$ se změnil na $f(e)\ge 0$). Pokud v $G’$ najdeme cirkulaci $f’$ splňující nové požadavky, tak tok $f:=f’+f_0$ bude platnou cirkulací v $G$ splňující požadavky ve vrcholech i limity na průtoky po hranách.

Tím jsme problém cirkulace s limity na průtok hranou převedli na předchozí případ “obyčejné” cirkulace s požadavky, který umíme vyřešit pomocí hledání “klasického” maximálního toku.

Pro cirkulace s limity na průtok hranou opět platí důsledek, že pokud jsou všechny požadavky ve vrcholech, dolní i horní limity na průtok hranou celočíselné, tak existuje cirkulace splňující požadavky a limity, která je celočíselná.